§ 10. Числовые характеристики случайных величин

Случайные величины, помимо законов распределения, могут описываться числовыми характеристиками.

Определение 10.1. Математическим ожиданием (средним значением) случайной величины называют действительное число, определенное в зависимости от типа случайной величины x формулой

если x - дискретна;

(10.1)

если x - абсолютно непрерывна, если ряд (соответственно интеграл) в правой части формулы (10.1) сходится абсолютно.

Теорема 10.1. (Основные свойства математического ожидания)

1. Если с - постоянная, то М(с) = с.

2. Если с - постоянная, то М(x с) = сМ(x ).

3. Для любых величин x ÷ Мx ÷ £ М÷ x ÷ .

4. Для любых случайных величин x , h

М(x ± h ) = Мx ± Мh , если Мx и Мh существуют.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Свойства 1 - 4 следуют из соответствующих свойств интеграла и ряда. Докажем, например, свойство 4.

Пусть x = x (w ) и h = h (w ) определены на вероятностном пространстве

{W, Á , Р}. Сумма x + h является случайной величиной, определенной на том же вероятностном пространстве.

Пусть x задана рядом распределения

xi	х1	х2	...	хn	...
pi	р1	р2	...	рn	...

, (10.2)

а h - рядом распределения

yi	y1	y2	...	ym	...
qi	q1	q2	...	qm	...

. (10.3)

Тогда случайная величина x + h принимает значения x_i + y_k, i =1,2, ... k = 1,2, ... ,

а соответствующие вероятности имеют вид:

.

Заметим, что

Аналогично

Теперь по определению 10.1 вычисляем

Заметим, что все вышеприведенные преобразования законны, т.к. ряды для Мx и Мh сходятся абсолютно и сними можно обращаться, как с конечными суммами. u

Введем важное понятие независимых случайных величин.

Определение 10.2. Дискретные случайные величины x , h , заданные рядами распределения (10.2) и (10.3), называют независимыми, если для любых х_i, y_k события

{x = x_i} и {h = у_k }- независимы, то есть

Произвольные случайные величины z ,n независимы, если для любых вещественных х, у события {z < x}, {n <y} независимы, то есть

Теорема 10.2. Если случайные величины x и h независимы, то

М(x h ) = М(x ) М(h )

(математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x и h независимы, с рядами распределения (10.2) и (10.3) . Случайная величина x ^. h дискретна, принимает значения х_i ^.y_k с вероятностями :

Теперь вычисляем

Здесь перестановка членов возможна в силу абсолютной сходимости рядов. ¨

Определение 10.3. Дисперсией случайной величины называют неотрицательное число, определенное в зависимости от типа случайной величины x формулой

если x - дискретна, (10.4)

если x - абсолютно непр.,

если математическое ожидание в правой части (10.4) существует.

Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины около ее математического ожидания.

Неотрицательное число называют среднеквадратичным отклонением случайной величины x . Оно имеет размерность случайной величины x и определяет некоторый стандартный среднеквадратичный

интервал рассеивания, симметричный относительно Мx .

З а м е ч а н и е. Если воспользоваться свойствами математического ожидания, то формулы (10.4) можно привести к более удобному для практического применения виду:

Dx = M(x - Mx )² = M[x ² - 2x Mx + (Mx )²] = Mx ² - 2Mx Mx + (Mx )²] = Mx ² - (Mx )².

Отсюда следует, что

если x - дискретна, (10.4/ )

если x - абсолютно непр.

Теорема 10.3. (Свойства дисперсии)

1. Для любой случайной величины x верно Dx ³ 0,

2. Если c - постоянная, то Dc = 0.

3. Если c - постоянная, то D(cx ) = c²Dx .

4. Если случайные величины x и h независимы, то

D(x ± h ) = Dx + Dh .

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Свойства 1 - 3 следуют непосредственно из определения 10.3 и теоремы 10.1 (свойства математического ожидания). Доказать самостоятельно.

Докажем свойство 4. Воспользуемся определением (10.4/ ), откуда следует

D(x + h ) = M[(x + h ) - M (x + h )]² = M[(x - Mx ) +(h - Mh )]² =

= M(x - Mx )² +M(h - Mh )² + 2 М(x - Mx ) (h - Mh ),

но т.к. случайные величины x и h независимы, то (x - Mx ) и (h - Mh ) тоже независимы, тогда М(x - Mx ) (h - Mh ) = М(x - Mx ) М(h - Mh ) = 0.

Теперь получаем D(x + h ) = M(x - Mx )² +M(h - Mh )² = Dx + Dh . ¨

Определим два понятия, которыми будем пользоваться в дальнейшем:

• Случайная величина называется центрированной (обозначается

),

если М = 0, т.е. преобразование = x - Mx центрирует случайную величину.

• Случайная величина называется стандартизированной (нормированной), если Mx = 0 и s x = 1.

В оглавление